Permütasyon – kombinasyon – binom
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM
I. PERMÜTASYON
A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.
B. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
.................
.................
.................
n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n
Ü n! = n . (n – 1)!
Ü (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)! dir.
Ü n . n! = (n + 1)! – n!
C. TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir01.gif
Ü 1) P(n, n) = n!
2) P(n, 1) = n
3) P(n, n – 1) = n! dir.
D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + n3 + ... + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
II. KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir04.gif
Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir05.gif
Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir06.gif
Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir07.gif
b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir08.gif tane üçgen çizilebilir.
Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir09.gif farklı
noktada kesişirler.
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.
Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir10.gif tane paralelkenar oluşur.
Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir11.gif tane kesim
noktası vardır.
III. BİNOM AÇILIMI
A. TANIM
n Î IN olmak üzere,
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir12.gif
ifadesine binom açılımı denir.
Burada;
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir13.gif
sayılarına binomun kat sayıları denir.
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir14.gif
ifadelerinin her birine terim denir.
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir15.gif ifadesinde http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir16.gif kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.
B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.
3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1). terim : http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir17.gif
sondan (r + 1). terim : http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir18.gif
(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.
Ü n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir19.gif
Ü n Î IN+ olmak üzere,
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir20.gif açılımındaki sabit terim,
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir21.gif
ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.
Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.
Ü (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;
http://www.torpil.com/servisler/oss_...rm_kesir22.gif
