Üçgende Alan - Genel Alan Bağıntısı - Dik Üçgende Alan

1. Genel Alan Bağıntısı

ABC üçgeninde [BC] kenarına ait yükseklik [AH]

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.88.gif

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.89.gif

Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.90.gif

Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.91.gif

Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.92.gif
http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.93.gif

2. Dik Üçgende Alan

Dik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına eşittir.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.94.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.95.gif

3. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;

ABC üçgeninde

m(ABC) = a

|AB| = c

|BC| = a

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.96.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.97.gif

a. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.98.gif

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.99.gif
eşitliği vardır.

b. |BC| = a |AB| = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır. http://www.matematikci.org/oss/geome...ar/geo_5.1.gif

c. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için |AB| = |AC| olmalıdır. ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır.

http://www.matematikci.org/oss/geome...ar/geo_5.2.gif


4. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin çevresi Çevre(ABC) = a + b + c

Çevrenin yarısına u dersek

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.12.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.13.gif http://www.matematikci.org/oss/geome...ar/geo_5.4.gif

5. Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı; ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r olsun.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.14.gif

http://www.matematikci.org/oss/geome...ar/geo_5.6.gif

Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.15.gif

A(ABC)=u.r

Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler

http://www.matematikci.org/oss/geome...ar/geoka36.gif

ABC dik üçgeninde A(ABC) = |BD|.|DC|

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.17.gif

6. Kenarları ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun. http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.18.gif


http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.19.gif

• Orta Dikme

Üçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir. [EA, a kenarının


[FO, b kenarının

[DO, c kenarının

orta dikmeleridir.

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.20.gif O noktası çevrel çemberin merkezidir.

7. Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;

Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

ABC ve ACD üçgenlerinin tabanları aynı doğru üzerinde ve tepe noktaları aynı noktada olduğuna göre, yükseklikleri eşittir.

http://www.matematikci.org/oss/geome...ar/geo_5.9.gif

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.10.gif

8. Tabanları eşit üçgenlerin alanlarının oranı yüksekliklerinin oranına eşittir. ABC ve DBC üçgenlerinin tabanları eşit ve çakışıktır.

http://www.matematikci.org/oss/geome...ar/geoka35.gif

http://www.matematikci.org/oss/geome...r/geo_5.11.gif