üslü sayılar, üslü ifadeler, üslü sayıların özellikleri

Üs Kavramı:
(a) reel sayı ve (m) bir pozitif tamsayı olmak üzere; a^m ifadesi, m tane (a) nın çarpımını gösterir.

a^m = a . a . a...a şeklinde gösterilir.

a bir reel sayı, n bir pozitif tamsayı olmak üzere, n tane a sayısının çarpımı aⁿ dir.

(a ya taban, n ye kuvvet denir.)

Eklenti 1757

Örnek
3.3.3.3 = 3⁴ = 81
(-3). (-3). (-3) = (-3)3 = -27
Eklenti 1758
x ¹ 0 olmak üzere x = 1 dir.

Örnekler:

2³ = 2 . 2 . 2 =8
5² = 5 . 5 = 25

Örnek
Eklenti 1759

Özellikleri:

· Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir.
a^m = a⁰ = 1

Örnekler: 3⁰= 1

· Bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.
a^m = a¹ = a

Örnekler: 2¹= 2

· Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasının ayrı ayrı kuvvetleri alınır.
( a )^m = a^m
b b^m

Örnekler:
( 2 )⁵ = 2⁵ = 32
3 3⁵ 243

· Üslü bir ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.
(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Örnekler: ( 2³)² = 2^{3 . 2} = 2⁶= 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

· a ¹ 0 reel sayı ve m bir pozitif tamsayı için;

a^-m = 1
a^m

Örnekler:
2³ = 1 = 1
2³ 8

· Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapılır.

( a )^-m = ( b )^m
b a

Örnekler:
( 2 )^-3 = ( 3 )³ =27
3 2 8

Negatif Kuvvet:

Bir reel sayının negatif kuvveti alındığında o sayının pozitif kuvvetinin çarpmaya göre tersi elde edilir.

Örnek
Eklenti 1760

Tek veya Çift Kuvvetler:

Sıfırdan farklı bir sayının;

· Çift kuvvetleri pozitiftir.
(-2)⁴ = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16

· Tek kuvvetleri ise bu sayı ile aynı işaretlidir.
(-2)³ = (-2) .(-2) . (-2) = - 8

Üslü İfadelerde Toplama ve Çıkarma:

Tabanları ve üsleri aynı olan ifadelerin katsayıları toplanır ya da çıkarılır.

Örnek

Eklenti 1761

Örnek: 3a⁵ –8a⁵ + a⁵ toplamının sonucu nedir?

Çözüm: a⁵’lerin katsayılarını toplayalım.
(3-8+1) a⁵ = 4a⁵

Üslü İfadelerde Çarpma:

· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler çarpılırken ortak taban, taban olarak alınır. Üsler toplanıp üs olarak yazılır.
a^m . aⁿ = a^m+n

· Tabanları farklı üsleri aynı olan üslü ifadeler çarpılırken tabanlar çarpılıp taban olarak yazılır ortak üs, üs olarak yazılır.
a^m . b^m = (a.b)^m

· Tabanları ve üsleri farklı molan üslü ifadeler çarpılırken, önce kuvvetler alınır sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek: 2³ . 5² = 8 . 25 = 200

Çarpma işlemi için 2 durum vardır.

a) Tabanları aynı üsleri farklı ise aynı tabanda yazılıp üsleri toplanır.

x Î R , n, m Î Z için x^m . xⁿ = xⁿ dir.

b) Tabanları farklı üsleri aynı ise; tabanlar çarpılır üslerden biri ortak üs olarak yazılır.

x, y Î R , n Î Z için xⁿ . yⁿ = (x . y)ⁿ dir.

Örnek

2⁹⁹ . 5⁹⁹ = (2.5)⁹⁹ = 10⁹⁹

2⁷ . 3⁷ . 5⁷ = (2.3.S)⁷ = 30⁷ dir.

(a + b)³ . (a - b)³ = [ (a+b) (a-b) ]³ = (a² - b²)³ Başka bir örnekte tersten de düşünürsek

42^X = (2.3.7)^X = 2^X . 3^X . 7^X olur.

Bir uslu sayının kuvvetinin kuvveti var ise aynı tabanda kuvvetler çarpılır.

x Î R , m, n Î Z için (xⁿ)m = (x^m)ⁿ = x^m.n dir.

Örnek

(5³)^2x = 5^6x dir.

Bunun değişik versiyonlarını elde edebiliriz.

(5³)^2x = (5^X)6 = (5²)^3x = (5⁶)^X = (5^2X)³ = (5^6x) gibi.

Örnek
Eklenti 1762

Örnek

Eklenti 1763

Üslü İfadelerde Bölme:

· Tabanları aynı üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alınır, üsler çıkarılıp üs olarak yazılır.
a^m = a^{m – n}
aⁿ

Örnekler:
2⁸= 2^8-5 = 2³ = 8
2⁵
· Tabanları farklı üsleri aynı üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alınır. Ortak üs üs olarak yazılır.

Örnekler:
( 81 )⁴= 3⁴ = 81
27

Örnek

Eklenti 1764

· Tabanları ve üsleri farklı olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açılır sonra bölme işlemi yapılır.

ÜSLÜ DENKLEMLER:

Üssünde bilinmeyen bulunan denklemlere üslü denklemler denir.

1- Tabanları Eşit Olan Denklemler:

KURAL:
8 Tabanları eşit olan üslü denklemlerin üsleri de eşittir.
Eklenti 1765

ÖRNEK/
1- 2^x = 2⁵ Ã x=5 tir.
2- 3^x = 81 Ã 3^x= 3⁴ Ã x=4 tür.
3- 2^x+8 = 8 olduğuna göre, x=?
2^x+8 = 2^x . 2⁸ olup
2^x . 2⁸ = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 2³ olup
2^x . 2⁸ = 2³
2^x = 2³¸ 2⁸
2^x = 2^3-8
2^x = 2^-5 olup burdan x = -5 bulunur.

ÖRNEK /
Eklenti 1766eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

ÇÖZÜM
5^x+1-(2-x) = (5³)^x-3
5^x+1-2+x= 5^3(x-3)
5^2x-1= 5^3x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)
2x-1 = 3x-9
2x –3x = -9+1
-x = -8
x= 8

2- Üsleri eşit olan denklemler:

KURAL
8 Üsleri eşit olan denklemlerde üs tek sayı ise tabanları eşit, üs çift sayı ise tabanlar eşit yada biri diğerinin ters işaretlisine eşittir.

n tek sayı ve aⁿ = bⁿ Ã a=b dir.

n çift sıyı ve aⁿ = bⁿ Ã a=b veya a = -b dir.

ÖRNEK

1- x³=5³Ã x=5 tir.

2- (x+7)³=(3x-11)³ eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Çözüm:
3=3 yani üsler eşit olduğundan tabanlarda eşit olmak zorundadır. Burdan,
(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalım
x+7 = 3x-11
7+11= 3x-x
18 = 2x
Eklenti 1767
x = 9

ÖRNEK
(2X+3)⁴= (X-2)⁴ eşitliğini sağlayan x değerlerini bulalım.

ÇÖZÜM
4çift sayı olduğu için
(2x+3)⁴= (X-2)⁴ Ã
2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)
2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2
x=5 Veya 2x+x= 2-3
3x = -1
Eklenti 1768

KURAL
8 xⁿ = 1 şeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardır.
Eklenti 1769

ÖRNEK

1- 1⁸ = 1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.

2- 5⁰ = 1 dir. Çünkü 0 dışındaki tüm reel sayıların 0 ıncı kuvvetleri 1 dir.

3- (-1)⁶ = 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.

4- 5^3x-15 = 1 ise x=?

Çözüm:
5^3x-15 = 1 ise
3x-15 = 0 olmalıdır,burdan
3x = 15
x = 15/3
x = 5

ÖRNEK
(5x+3)⁷ = 1 ise x değerini hesaplayın.

ÇÖZÜM:
(5x+3)⁷ = 1⁷ (1⁷=1 olup ) Burdan bu eşitliğin tabanları eşit olmalıdır.
(5x+3) = 1
5x+3 = 1
5x = 1-3
5x = -2
Eklenti 1771

ÖRNEK
(x+3)^x-2= 1 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım.

Eklenti 1772
=2.2^x
=2¹ . 2^x
=2^1+x

Örnek: 9^{2x – 3}= 27^{x –1} ise x’i bulalım.

Çözüm: (3²)^{2x – 3} = (3³)^{x – 1}

4x – 6 = 3x - 3
x = 3 bulunur.

ÇÖZÜM
5^x+1-(2-x) = (5³)^x-3
5^x+1-2+x= 5^3(x-3)
5^2x-1= 5^3x-9 (Tabanlar eşit olup üsler eşit olmalıdır.)
2x-1 = 3x-9
2x –3x = -9+1
-x = -8
x= 8

Eklenti 1773

Çözüm
Eklenti 1774

Örnek

7^3x-15 = 1 ise x nedir?

Çözüm

7^3x-15 = 1 = 7
3x-15 = 0
3x= 15
x = 5 olur.

2)
Eklenti 1775

a) m tek ise; .x = y

b) m çift ise; x = + y dır.

Örnek

Eklenti 1776

Örnek

Eklenti 1777

10’un Kuvvetleri

a) n Î N⁺ olmak üzere

10ⁿ = 1 00... 0’dır.
Eklenti 1778
10ⁿ sayısında n tane sıfır vardır ve sayı (n + 1) basamaklıdır.

b) n Î N olmak üzere

Eklenti 1779
10^-n sayısında virgülün sağında (n-1) tane sıfır ve n tane rakam vardır.

Örnek

700000000 = 7.10⁸ = 70.10⁷ = 700.10⁶ gibi değişik şekillerde yazılabilir.

0,00015=15.10^-5=1,5.10^-4=0,15.10^-3=150.10^-6 gibi değişik şekillerde de yazabiliriz.

Çözümlü Test

1. 3^X+1 - 5.3^X + 7.3^X + 3^X = 54 ise x kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

Çözüm
3^X. 3 - 5.3^X + 7.3^X + 3^X = 54
(3-5 + 7 + 1).3^X = 54
6.3^X = 54
3^X = 9 = 3²
x - 2 dir.
Cevap : A

Eklenti 1780
Çözüm
Eklenti 1781

3.

Eklenti 1782

işleminin sonucu nedir?
A) -4 B) -2 C) 2 D) 4 E) 5

Çözüm

Eklenti 1783
Cevap : C

4.

Eklenti 1784

işleminin sonucu kaçtır?

Eklenti 1785

Çözüm
Eklenti 1786

5. 3.2^x+z + 4.2^x = 8 olduğuna göre x kaçtır?
A) 2 B)1 C) O D)-1 E)-2

Çözüm

Eklenti 1787

Cevap: D

6.

Eklenti 1788
olduğuna göre a.b çarpımı kaçtır?
A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60

Çözüm

Eklenti 1789

Cevap : D

7. (2^-1 + 2°)^-2. 3² işleminin sonucu kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Çözüm

Eklenti 1790
Cevap: C

8.

Eklenti 1791

Cevap : C

kaynak: http://bilgiyelpazesi.com/egitim_ogr...llikleri_4.asp