Üs Kavramý:
(a) reel sayý ve (m) bir pozitif tamsayý olmak üzere; a^m ifadesi, m tane (a) nýn çarpýmýný gösterir.

a^m = a . a . a...a þeklinde gösterilir.

a bir reel sayý, n bir pozitif tamsayý olmak üzere, n tane a sayýsýnýn çarpýmý aⁿ dir.

(a ya taban, n ye kuvvet denir.)

image002.jpg

Örnek
3.3.3.3 = 3⁴ = 81
(-3). (-3). (-3) = (-3)3 = -27
image004.jpg
x ¹ 0 olmak üzere x = 1 dir.

Örnekler:

2³ = 2 . 2 . 2 =8
5² = 5 . 5 = 25

Örnek
image006.jpg

Özellikleri:

· Sýfýrdan farklý bir sayýnýn sýfýrýncý kuvveti 1’e eþittir.
a^m = a⁰ = 1

Örnekler: 3⁰ = 1

· Bir sayýnýn birinci kuvveti kendisine eþittir.
a^m = a¹ = a

Örnekler: 2¹ = 2

· Bir kesrin kuvvetini almak için pay ve paydasýnýn ayrý ayrý kuvvetleri alýnýr.
( a )^m = a^m
b b^m

Örnekler:
( 2 )⁵ = 2⁵ = 32
3 3⁵ 243

· Üslü bir ifadenin kuvveti alýnýrken üsler çarpýlýr.
(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Örnekler: ( 2³)² = 2^{3 . 2} = 2⁶ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64

· a ¹ 0 reel sayý ve m bir pozitif tamsayý için;

a^-m = 1
a^m

Örnekler:
2³ = 1 = 1
2³ 8

· Bir kesrin üssü negatif ise kesir ters çevrilip üssü pozitif yapýlýr.

( a )^-m = ( b )^m
b a

Örnekler:
( 2 )^-3 = ( 3 )³ =27
3 2 8


Negatif Kuvvet:

Bir reel sayýnýn negatif kuvveti alýndýðýnda o sayýnýn pozitif kuvvetinin çarpmaya göre tersi elde edilir.

Örnek
image008.jpg

Tek veya Çift Kuvvetler:

Sýfýrdan farklý bir sayýnýn;

· Çift kuvvetleri pozitiftir.
(-2)⁴ = (-2) .(-2) . (-2) . (-2) = +16

· Tek kuvvetleri ise bu sayý ile ayný iþaretlidir.
(-2)³ = (-2) .(-2) . (-2) = - 8


Üslü Ýfadelerde Toplama ve Çýkarma:

Tabanlarý ve üsleri ayný olan ifadelerin katsayýlarý toplanýr ya da çýkarýlýr.

Örnek

image010.jpg

Örnek: 3a⁵ –8a⁵ + a⁵ toplamýnýn sonucu nedir?

Çözüm: a⁵ ’lerin katsayýlarýný toplayalým.
(3-8+1) a⁵ = 4a⁵


Üslü Ýfadelerde Çarpma:

· Tabanlarý ayný üsleri farklý olan üslü ifadeler çarpýlýrken ortak taban, taban olarak alýnýr. Üsler toplanýp üs olarak yazýlýr.
a^m . aⁿ = a^m+n

· Tabanlarý farklý üsleri ayný olan üslü ifadeler çarpýlýrken tabanlar çarpýlýp taban olarak yazýlýr ortak üs, üs olarak yazýlýr.
a^m . b^m = (a.b)^m

· Tabanlarý ve üsleri farklý molan üslü ifadeler çarpýlýrken, önce kuvvetler alýnýr sonra çarpma iþlemi yapýlýr.

Örnek: 2³ . 5² = 8 . 25 = 200

Çarpma iþlemi için 2 durum vardýr.

a) Tabanlarý ayný üsleri farklý ise ayný tabanda yazýlýp üsleri toplanýr.

x Î R , n, m Î Z için x^m . xⁿ = xⁿ dir.

b) Tabanlarý farklý üsleri ayný ise; tabanlar çarpýlýr üslerden biri ortak üs olarak yazýlýr.

x, y Î R , n Î Z için xⁿ . yⁿ = (x . y) ⁿ dir.

Örnek

2⁹⁹ . 5⁹⁹ = (2.5) ⁹⁹ = 10⁹⁹

2⁷ . 3⁷ . 5⁷ = (2.3.S) ⁷ = 30⁷ dir.

(a + b) ³ . (a - b) ³ = [ (a+b) (a-b) ] ³ = (a² - b²) ³ Baþka bir örnekte tersten de düþünürsek

42 ^X = (2.3.7) ^X = 2 ^X . 3 ^X . 7 ^X olur.

Bir uslu sayýnýn kuvvetinin kuvveti var ise ayný tabanda kuvvetler çarpýlýr.

x Î R , m, n Î Z için (xⁿ)m = (x^m) ⁿ = x^m.n dir.

Örnek

(5³) ^2x = 5^6x dir.

Bunun deðiþik versiyonlarýný elde edebiliriz.

(5³) ^2x = (5 ^X)6 = (5²) ^3x = (5⁶) ^X = (5^2X) ³ = (5^6x) gibi.


Örnek
image012.jpg

Örnek

image014.jpg

Üslü Ýfadelerde Bölme:

· Tabanlarý ayný üsleri farklý olan üslü ifadeler bölünürken ortak taban, taban olarak alýnýr, üsler çýkarýlýp üs olarak yazýlýr.
a^m = a^{m – n}
aⁿ


Örnekler:
2⁸ = 2^8-5 = 2³ = 8
2⁵
· Tabanlarý farklý üsleri ayný üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünüp taban olarak alýnýr. Ortak üs üs olarak yazýlýr.


Örnekler:
( 81 )⁴ = 3⁴ = 81
27


Örnek

image015.jpg

· Tabanlarý ve üsleri farklý olan üslü ifadeler bölünürken tabanlar bölünüp önce kuvvetler açýlýr sonra bölme iþlemi yapýlýr.


ÜSLÜ DENKLEMLER:

Üssünde bilinmeyen bulunan denklemlere üslü denklemler denir.

1- Tabanlarý Eþit Olan Denklemler:

KURAL:
8 Tabanlarý eþit olan üslü denklemlerin üsleri de eþittir.
image017.jpg

ÖRNEK/
1- 2^x = 2⁵ Þ x=5 tir.
2- 3^x = 81 Þ 3^x= 3⁴ Þ x=4 tür.
3- 2^x+8 = 8 olduðuna göre, x=?
2^x+8 = 2^x . 2⁸ olup
2^x . 2⁸ = 8 yerine konur ise, burdan 8 = 2³ olup
2^x . 2⁸ = 2³
2^x = 2³¸ 2⁸
2^x = 2^3-8
2^x = 2^-5 olup burdan x = -5 bulunur.

ÖRNEK /
image019.jpgeþitliðini saðlayan x deðerini bulalým.

ÇÖZÜM
5^x+1-(2-x) = (5³)^x-3
5^x+1-2+x= 5^3(x-3)
5^2x-1= 5^3x-9 (Tabanlar eþit olup üsler eþit olmalýdýr.)
2x-1 = 3x-9
2x –3x = -9+1
-x = -8
x= 8


2- Üsleri eþit olan denklemler:

KURAL
8 Üsleri eþit olan denklemlerde üs tek sayý ise tabanlarý eþit, üs çift sayý ise tabanlar eþit yada biri diðerinin ters iþaretlisine eþittir.

n tek sayý ve aⁿ = bⁿ Þ a=b dir.
Kaynak: ReformTürk http://www.reformturk.com/matematik-dersi/69987-uslu-sayilar-uslu-ifadeler-uslu-sayilarin-ozellikleri.html#post134517

n çift sýyý ve aⁿ = bⁿ Þ a=b veya a = -b dir.

ÖRNEK

1- x³=5³Ãž x=5 tir.

2- (x+7)³=(3x-11)³ eþitliðini saðlayan x deðerini bulalým.

Çözüm:
3=3 yani üsler eþit olduðundan tabanlarda eþit olmak zorundadýr. Burdan,
(x+7) = (3x-11) olup parantezleri açalým
x+7 = 3x-11
7+11= 3x-x
18 = 2x
image021.jpg
x = 9

ÖRNEK
(2X+3)⁴= (X-2)⁴ eþitliðini saðlayan x deðerlerini bulalým.

ÇÖZÜM
4çift sayý olduðu için
(2x+3)⁴= (X-2)⁴ Þ
2x+3= x-2 Veya 2x+3= -(x-2)
2x-x= -2-3 Veya 2x+3= -x+2
x=5 Veya 2x+x= 2-3
3x = -1
image023.jpg

KURAL
8 xⁿ = 1 þeklinde olan denklemler.

Bu tür denklemlerin çözümünde 3 durum vardýr.
image025.jpg


ÖRNEK

1- 1⁸ = 1 dir. Çünkü 1 in tüm reel kuvvetleri 1 dir.

2- 5⁰ = 1 dir. Çünkü 0 dýþýndaki tüm reel sayýlarýn 0 ýncý kuvvetleri 1 dir.

3- (-1)⁶ = 1 dir. Çünkü (-1) in tüm çift kuvvetleri 1 dir.

4- 5^3x-15 = 1 ise x=?

Çözüm:
5^3x-15 = 1 ise
3x-15 = 0 olmalýdýr,burdan
3x = 15
x = 15/3
x = 5


ÖRNEK
(5x+3)⁷ = 1 ise x deðerini hesaplayýn.

ÇÖZÜM:
(5x+3)⁷ = 1⁷ (1⁷=1 olup ) Burdan bu eþitliðin tabanlarý eþit olmalýdýr.
(5x+3) = 1
5x+3 = 1
5x = 1-3
5x = -2
image029.jpg

ÖRNEK
(x+3)^x-2= 1 eþitliðini saðlayan x deðerini bulalým.

image031.jpg
=2.2^x
=2¹ . 2^x
=2^1+x


Örnek: 9^{2x – 3} = 27^{x –1} ise x’i bulalým.

Çözüm: (3²)^{2x – 3} = (3³)^{x – 1}

4x – 6 = 3x - 3
x = 3 bulunur.

ÇÖZÜM
5^x+1-(2-x) = (5³)^x-3
5^x+1-2+x= 5^3(x-3)
5^2x-1= 5^3x-9 (Tabanlar eþit olup üsler eþit olmalýdýr.)
2x-1 = 3x-9
2x –3x = -9+1
-x = -8
x= 8


image033.jpg

Çözüm
image035.jpg

Örnek

7^3x-15 = 1 ise x nedir?

Çözüm

7^3x-15 = 1 = 7
3x-15 = 0
3x= 15
x = 5 olur.

2)
image037.gif

a) m tek ise; .x = y

b) m çift ise; x = + y dýr.

Örnek

image039.jpg

Örnek

image041.jpg

10’un Kuvvetleri

a) n Î N⁺ olmak üzere

10 ⁿ = 1 00... 0’dýr.
image043.jpg
10 ⁿ sayýsýnda n tane sýfýr vardýr ve sayý (n + 1) basamaklýdýr.

b) n Î N olmak üzere

image045.jpg
10^-n sayýsýnda virgülün saðýnda (n-1) tane sýfýr ve n tane rakam vardýr.

Örnek

700000000 = 7.10⁸ = 70.10⁷ = 700.10⁶ gibi deðiþik þekillerde yazýlabilir.

0,00015=15.10^-5=1,5.10^-4=0,15.10^-3=150.10^-6 gibi deðiþik þekillerde de yazabiliriz.


Çözümlü Test

1. 3 ^X+1 - 5.3 ^X + 7.3 ^X + 3 ^X = 54 ise x kaçtýr?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

Çözüm
3 ^X. 3 - 5.3 ^X + 7.3 ^X + 3 ^X = 54
(3-5 + 7 + 1).3 ^X = 54
6.3 ^X = 54
3 ^X = 9 = 3²
x - 2 dir.
Cevap : A

image047.jpg
Çözüm
image048.gif

3.

image049.gif

iþleminin sonucu nedir?
A) -4 B) -2 C) 2 D) 4 E) 5

Çözüm

image050.gif
Cevap : C

4.

image051.gif

iþleminin sonucu kaçtýr?

image052.gif

Çözüm
image053.gif


5. 3.2 ^x+z + 4.2 ^x = 8 olduðuna göre x kaçtýr?
A) 2 B)1 C) O D)-1 E)-2

Çözüm

image054.gif

Cevap: D

6.

image055.gif
olduðuna göre a.b çarpýmý kaçtýr?
A) 12 B) 24 C) 36 D) 48 E) 60

Çözüm

image056.gif

Cevap : D

7. (2^-1 + 2°)^-2. 3² iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Çözüm

image057.gif
Cevap: C

8.

image058.gif

Cevap : C

kaynak: http://bilgiyelpazesi.com/egitim_ogr...llikleri_4.asp