1)PERMÜTASYON

1.1)Saymanın Temel İlkesi

Bir işlem a yoldan, bununla ilişkisi olan başka bir işlem de b yoldan yapılabiliyorsa, bu iki işlem birlikte a.b yoldan yapılabilir. Buna genel çarpma kuralı denir.

Örnek 1: A kenti ile B kenti arasında 5 değişik yol, B kenti ile C kenti arasında ise 4 değişik yol vardır. A kentinden C kentine gitmek isteyen bir kimse B’den geçmek şartıyla kaç değişik yolla gidebilir?



A








A’dan C’ye 5.4=20 değişik yolla gidilebilir. A1 yolu ile{B1,B2,B3,B4} yollarından biriyle gidilebilir. Aynı şekilde A1,A2,A3,A4 ve A5 de {B1,B2,B3,B4} yollarından biriyle gidilebileceğinden dolayı A’dan C’ye 5.4=20 farklı şekilde gidilebilir.

Örnek 2: 30 kişilik bir sınıftan bir başkan ve bir de başkan yardımcısı seçilecektir. Bu seçim kaç farklı biçimde yapılabilir?

Başkan Başkan Yardımcısı



Başkan seçilebilecek 30 kişi olduğu için, seçenek sayısı 30’dur. Başkan seçildikten sonra, geriye kalan 29 kişinin her biri başkan yardımcısı seçilebileceğinden, seçenek sayısı 29’dur. Genel çarpma kuralına göre 30.29=870 değişik biçimde seçim yapılabilir.

Örnek 3: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı;
a) Üç basamaklı kaç çift sayı
b) Üç basamaklı kaç tek sayı
c) Üç basamaklı 10 ile bölünebilen
d) Üç basamaklı 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılır?

a) Her basamak için bir kutu çizerek çözüme ulaşılabilir. Üç basamaklı sayı abc olsun.
Yüzler bas. Onlar bas. Birler bas.




Çift sayılar arandığına göre. C yerine 0,2,4,6,8 rakamlarından biri gelebilir. Sıfır birler basamağında kullanılabilir, ancak yüzler basamağında kullanılmamalıdır. Bu yüzden bu iki durumun ayrı ayrı incelenmesi gerekir.
1) Sıfır ile biten üç basamaklı çift sayılar bulunmak istendiğinde;


Sadece “0” gelecek

Birler basamağı için tek seçim yapabiliriz (0 rakamı). Bu işlemden sonra kalan 9 rakamdan biri yüzler basamağına ve kalan 8 rakamdan biri onlar basamağına yazılabilir. Böylece “0” ile biten çift sayılar 9.8.1=72 tanedir.


2) 2,4,6,8 ile biten çift sayılar bulunmak istendiğinde;



(2,4,6,8 den biri)

Bu durumda birler basamağına (2,4,6,8) den biri gelebilir. Yüzler basamağına “0” gelemeyeceği için kalan 8 rakamdan biri yüzler basamağına yazılabilir. Onlar basamağına “0” gelebileceği için de buraya 8 rakamdan biri gelebilir. Bu durumda 8.8.4=256

Dolayısıyla üç basamaklı toplam 256+72=328 çift sayı yazılabilir.

b) Üç basamaklı birbirinden farklı kaç tek sayı;


(1,3,5,7,9)dan biri

Birler basamağına 1,3,5,7,9 dan biri gelebilir. Yüzler basamağına “0” gelemeyeceği için kalan 8 rakamdan biri, onlar basamağına ise “0” dahil kalan 8 rakamdan biri gelebilir. Buna göre 8.8.5=320 tek sayı yazılabilir.

c) Üç basamaklı birbirinden farklı 10 ile bölünebilen;


Sadece “0” gelebilir

Bir sayının 10 ile bölünebilmesi için birler basamağının “0” olması gerekir. Yüzler basamağına geri kalan 9 rakamdan biri, onlar basamağına ise kalan 8 rakamdan biri gelebilir. Buna göre 9.8.1=72 tane 10 ile bölünebilen sayı vardır.
Kaynak: ReformTürk http://www.reformturk.com/matematik-dersi/62093-permutasyon.html#post125968
d) Üç basamaklı birbirinden farklı 5 ile bölünebilen;
Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için birler basamağının ya “0” ya da “5” olması gerekir.
• Birler basamağına “0” gelirse
9.8.1=72

• Birler basamağına “5” gelirse
8.8.1=64 ( Yüzler basamağına “0”
gelemeyeceğinden kalan 8
rakamdan biri atanır. Onlar
basamağına ise “0” gelebilir.)

O halde, üç basamaklı 5 ile bölünebilen 72+64=136 tane sayı yazılabilir.


1.2)Faktöriyel Kavramı
n Є N+ olmak üzere 1’den n’ye kadar doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! ile gösterilir.
n!= n. (n-1). (n-2)........1’dir.
Ayrıca 1!=1, 0!=1’dir.

n!
Örnek 1: ─── = 60 eşitliğini sağlayan n sayma sayısı kaçtır?
(n-3)!

n! n. (n-1). (n-2). (n-3)!
── = ───────────── = 60
(n-3)! (n-3)!

n. (n-1). (n-2) = 60 n=5 (5.4.3=60’dır)


Örnek 2: 5!+6! 7
──── : ─── işleminin sonucu kaçtır?
6!-5! 5

5!+6! 7 5!+6.5! 7 5! (1+6) 7 7 7
──── : ─── = ────── : ── = ────── : ─── = ─── : ── = 1
6!-5! 5 6.5!-5! 5 5! (6-1) 5 5 5


1.3) Permütasyon
Bir küme elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine “bir permütasyon” denir. N eleman yerine n yere n. (n-1). (n-2) ......1=n! şekilde sıralanır. Bu n! ifadesine n elemanın n’li sıralanması ya da n’nin n’li permütasyonu denir. O halde n elemanlı kümenin r elemanlı permütasyonlarının sayısı;
n!
P (n,r) = ────’dir.
(n-r)!

Örnek 1: P (5,5)=?
5! 5! 5!
P (5,5) = ─── = ─── = ─── = 5.4.3.2.1 =120
(5-5)! 0! 1


Örnek 2: 3P (n,3) = 2 P (n+1,3) ise n sayısını bulunuz?


n! (n+1)! n! (n+1)!
3 ── = 2 ───── 3 ─── = 2 ─────
(n-3)! (n+1-3)! (n-3)! (n-2)!


3 (n).(n-1).(n-2).(n-3)! 2.(n+1).(n).(n-1).(n-2)!
───────────── = ─────────────
(n-3)! (n-2)!


3n-6= 2n+2 n=8


Örnek 3: 4 fizik ve 5 kimya kitabı, kimya kitapları birbirinden ayrılmamak üzere bir rafa kaç değişik biçimde dizilebilir?


Kimya kitapları birbirinden ayrılmayacağı için bir kitap olarak düşünülebilir.


Bu durumda 5 kitap 5! Şekilde sıralanır. Ayrıca 5 kimya kitabı da kendi arasında 5! şekilde sıralanır. O halde tüm sıralamalar;
5! . 5! = 120 . 120 = 14.400 olur.

Dönel Sıralama ( Dairesel Permütasyon)
n tane farklı elemanın dairesel sıralamasına, n elemanın dönel sıralaması denir. Dairesel sıralamanın yapılabilmesi için elemanlardan birinin yerinin sabit tutulması gereklidir. Sıralama sayısı (n-1)!’ dir.
sabit





(n-1)!
Dairesel sıralamada yön belli değilse n eleman ──── , ( n>2) kadar sıralanır. n eleman bir
2
(n-1)!
halka veya bileziğe ──── farklı şekilde dizilirler.
2

Örnek 1: 6 kişi bir yuvarlak masa etrafına kaç değişik biçimde oturabilir?


(n-1)! (6-1)! = 5! = 120 değişik biçimde otururlar.






Örnek 2: 5 boncuk bir halkaya kaç farklı şekilde dizilirler?


(n-1)! (5-1)! 4! 4.3.2.1
──── = ──── = ── = ───── = 12 farklı şekilde dizilirler.
2 2 2 2


Örnek 3: 7 kişilik bir öğrenci grubunda Semih daima Mustafa ve Serkan isimli öğrencilerin arasında olmak şartıyla, 7 öğrenci kaç farklı şekilde yuvarlak masa etrafında otururlar?













Semih, Serkan ve Mustafa bir kişi olarak düşünülürse 5 kişi yuvarlak bir masa etrafında (5-1)! = 4! Şekilde sıralanır. İkinci şekilde olduğu gibi Serkan ve Mustafa yer değiştirince yine 5 kişi 4! Şekilde sıralanır. O halde 7 kişi Semih, Serkan ve Mustafa’nın arasında olmak şartıyla 2.4! = 2.24 = 48 farklı şekilde oturabilirler.

Tekrarlı (Yinelemeli) Permütasyon
n1 + n2 + n3 +..........................nr = n ve n1 . n2 .....nr nin her biri aynı cins eleman sayısını gösteriyorsa bu n tane eleman ;
n!
───── farklı şekilde sıralanır.
n1! n2 !....nr !




Örnek 1: KARAHİSAR kelimesindeki harflerle anlamlı ya da anlamsız 9 harfli kaç kelime yazılabilir?
KARAHİSAR kelimesinde 3 tane A, 1 tane H, 1 tane K, 1 tane İ, 2 tane R ve 1 tane S olduğu için
9! 9.8.7.6.5.4.3!
────────── = ────────── = 9.8.7.6.5.2 = 30.240 değişik kelime yazılabilir
3! . 1. 1. 1. 2! . 1 3! . 2!


Örnek 2: 334445555 sayısının rakamlarını kullanarak, 9 basamaklı kaç sayı yazılabilir?


9! 9.8.7.6.5.4!
──── = ──────── = 9.4.7.5 = 1260 değişik sayı yazılabilir.
2! 3! 4! 2.1.3.2.1.4!

ÇIKMIŞ SORULAR

1) 1993 EML : 2! . 3! . 5! İşleminin sonucu kaçtır?
──
4!

A) 40 B) 50 C) 60 D) 70


5 . 4!
2 . 1 . 3 . 2 . 1 . ──── = 12 . 5 = 60 Cevap: C
4!

x² + x
2) 1991 EML: 0! + 1! + 2! + 3! = x ise ───── aşağıdakilerden hangisidir?
x


A) 9 B) 10 C)11 D) 12


x = 0! + 1! + 2! + 3!
= 1 + 1 + 2 + 6
= 10


x² + x x ( x+1)
——— = ———— = x+1 = 10 + 1 = 11 Cevap: C
x x


3) 1992 FL: 7! + 8!
——— işleminin sonucu kaçtır?
6! + 7!


A) 56! B) 15! C) 63 D) 15
—— —— —— ——
42! 13! 8 14

7! + 8! 7! + 8 . 7! 7! . (1 + 8) 7 . 6! . 9 63
——— = ————— = ————— = ————— = —— Cevap: C
6! + 7! 6! + 7 . 6! 6! . (1 + 7) 6! . 8 8


4) 1998 KUR: 13! 8! 6!
——— - ( ——— + —— ) işleminin sonucu kaçtır?
(13-3)! 3! 2! . 6! 2! . 4!


A) 286 B) 258 C) 243 D) 146


13! 8 . 7 . 6! 6 . 5 . 4!
———— - ( ————— + ———— )
10! . 3! 2 . 6! 2 . 4!

13 . 12 . 11 . 10!
= ———————— - (28 + 15)
10! . 3. 2 . 1

= 286 – 43 = 243 Cevap: C




5) 2000 DPY: P (5,4) – 4! 3! . 0!
————— . ——— işleminin sonucu kaçtır?
P (3,3) + 2! 4!


A) 3 B) 6 C) 9 D) 12




5!
—— - 4!
1! 3! . 1 5! – 4! 1
——————— . ———— = ————— . ——
3! 4 . 3! 3! + 2! 4
—— + 2!
0!

5 . 4! – 4! 1 4! (5-1) 1 4! . 4 1 4 . 3 . 2! 1
= ————— . —— = —————— . —— = ——— . —— = ———— . ——
3 . 2! + 2! 4 2! (3+1) 4 2! . 4 4 2! 4


= 3 Cevap: A


6) 1991 FL: Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9 farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla, Ankara’dan Adana’ya kaç farklı şekilde gidebilir?
A) 9! B) 8! C) 72 D) 17

Ankara Konya Adana
8 . 9 = 72 Cevap: C

7) 1987 FL-1: A= {2,3,4,5,6} kümesinin elemanları birer defa kullanılarak oluşturulan 5 basamaklı sayılardan kaç tanesi 2 ile tam bölünebilir?
A) 48 B) 60 C) 72 d) 96

( 2,4,6 dan biri atanabilir, ancak bu şekilde bu sayı 2 ile tam bölünebilir)

2 ile tam bölünebilmesi için birler basamağına 2,4,6’dan biri gelebilir. Geriye kalan 4 rakamdan biri onbinler basamağına, geri kalan 3 rakamdan biri binler basamağına, kalan 2 rakamdan biri yüzler basamağına ve kalan 1 rakam da onlar basamağına yazılır. 5 basamaklı 2 ile tam bölünebilen toplam;
4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 72 sayı vardır. Cevap: C

8) 1983 FL-2: Her basamağında {2,3,4,5,6,7} kümesinin farklı elemanları bulunan üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir?
A) 60 B) 120 C) 360 D) 720
(3,5,7’den biri gelebilir)
5 . 4 . 3 = 60 sayı yazılır.
Cevap: A
9) 1988 EML: (n+2)!
———— = 12 eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır?
(n+1)!

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

(n+2) . (n+1)!
—————— = 12 n + 2 = 12
(n+1)!
n = 10 Cevap: D


10) 1997 FL-AÖL: P (n,4) = 5 P (n,3) ise n’nin değeri nedir?

A) 3 B) 4 C) 8 D) 10


n! n!
= ——— = 5 ————
(n-4)! (n-3)!

n . (n-1) . (n-2) . (n-3) . (n-4)! 5 . n . (n-1) . (n-2) . (n-3)!
= ————————————— = ———————————
(n-4)! (n-3)!


n-3 = 5 n=8 Cevap: C

11) 1982 EML: 7 öğrenci bir sıraya kaç değişik biçimde oturabilir?

A) 5040 B) 2500 C) 1400 D) 720



7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040 Cevap: A



12) 1985 EML: “ÖZLEM” kelimesindeki harflerle manalı ya da manasız sonu M ile biten kaç kelime yazılabilir? ( Yazılan kelimelerde her harf yalnız bir defa kullanılacak)
A) 720 B) 520 C) 120 D) 24


4 . 3 . 2 . 1 . 1 = 24 kelime yazılabilir. Cevap: D

13) 1997 FL-AÖL: n doğal sayı olmak üzere (n-1)! + n! + (n+1)! işleminin sonucu
————————
(n+1)!
aşağıdakilerden hangisine eşittir?


A) n+1 B) 2n C) n+1 D) n-1
——— —— —— ——
n n-1 n-1 n




(n-1)! + n . (n-1)! + (n+1) . n . (n-1)! (n-1)! . (1 + n + n² + n)
———————————————— = ————————————
(n+1)! (n+1) . n . (n-1)!


n² + 2n + 1 (n+1)² (n+1)
————— = ———— = ——— Cevap: A
n . (n+1) n . (n+1) n




14) 1992 KUR: 7 kişi yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?
A) 7 B) 49 C) 720 D) 5040

(7-1)! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Cevap: C

15) 1989 FL-1: x ve y doğal sayı olmak üzere x>y dir. Buna göre x! in en küçük değeri
—
y!
aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x B) y C) x+1 D) y+1
x!
—— in en küçük değerinin bulunması için x y’den 1 büyük olmalıdır.
y!

x=y + 1

x! (y+1)! (y+1) . y!
—— = ——— = ————— = y+1 Cevap: D
y! y! y!


n! (k-1)!
18) 1997 EML: ——— = 12 ve ——— = 15 ise, n+k kaçtır?
(n-1)! (k-2)!


A) 4 B) 24 C) 28 D) 32


n . (n-1)!
———— = 12 n = 12
(n-1)!

(k-1) . (k-2)!
—————— = 15 k= 16
(k-2)!


n+k = 12 + 16 = 28 Cevap: C




19) 1997 DPY: 7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daire şeklindeki bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler?
A) 24 B) 48 C) 120 D) 1240

Anne ile baba sürekli yan yana oturacağı için, ikisini 1 kişi kabul edersek 6 kişi daire şeklindeki masa etrafında (6-1)! = 5! Şeklinde oturabilir. Anne ile baba da kendi aralarında 2! Şeklinde oturabilir. O halde;
5! . 2! = 120 . 2 = 240 Cevap: D

20) 1997 DPY: 5 roman, 4 hikaye kitabının bulunduğu kitaplıktan, bir roman ile bir hikaye kitabının birlikte seçimi kaç türlü yapılabilir?
A) 2 B) 9 C) 15 D) 20

5 . 4 = 20 türlü yapılabilir. Cevap: D

8!
21) 1996 EML: x . 6! = ——— eşitliğinde x’in değeri kaçtır?
2!
A) 1 B) 14 C) 28 D) 48
8 . 7 . 6!
x . 6! = ————— 2 . x . 6! = 8 . 7 . 6!
2 . 1
2 . x = 56

x = 28 Cevap: C




22) 1993 FL: Aşağıdaki eşitliklerden hangisi doğrudur?
A) 2! + 3! = 5!
B) 2 . 5! = 10!
C) 3! – 1! = 2!
D) 2! – 1! = 1!

A 2 + 6 ≠ 120
B 2 . 120 ≠ 3.628.800
C 6 –1 ≠ 2
D 2 – 1 = 1 √ Cevap: D


23) 1989 DPY: A = {a,b,c,d} kümesinin ikili permütasyonları kaç tanedir?
A) 6 B) 9 C) 11 D) 12
4! 4 . 3 . 2!
P (4,2) = ——— = ———— = 12 Cevap: D
(4-2)! 2!


P (8,8) 3! 2!
24) 1999 DPY: ———— : ( —— + —— ) işleminin sonucu kaçtır?
8! . 2 1! . 2! 3!

A) 1 B) 1 C) 1 D) 3
— — — —
2 3 5 20
8!
———
(8-8)! 3 . 2! 2!
= —————— : ( ———— + ———— )
8! . 2 1 . 2! 3 . 2!
———
1

8! 8!
—— ——
0! 1 1 10
= ————— : ( 3 + —— ) = —————— : ——
8! . 2 3 8! . 2 3
——— ———
1 1

8! 3 3
= ———— . —— = ——
8! . 2 10 20 Cevap: D




25) 1996 FL-AÖL : Bir rafta 5 tane Matematik, 2 tane Edebiyat ve 3 tane Tarih kitabı vardır. Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekilde yan yana sıralanabilir?
A) 30 B) 90 C) 1440 D) 8640

5 Matematik kitabını 1 kitap, 2 Edebiyat kitabını 1 kitap ve 3 Tarih kitabını da 1 kitap olarak düşünürsek, bunlar 3! şeklinde sıralanır. 5 Matematik kitabı kendi arasında 5!, 2 Edebiyat kitabı kendi arasında 2! ve 3 Tarih kitabı da kendi arasında 3! olarak sıralanabilir. Dolayısıyla;
= 3! . 5! . 2! . 3!
= 6 . 120 . 2 . 6
= 8640 Cevap: D


26) 1993 FL: A = { 1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile 2 basamaklı ve basamaklarındaki rakamları birbirinden farklı kaç sayı yazabiliriz?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40

6 . 5 = 30 Cevap: C

27) 1992 ÖĞL: 8! = a ise ( 10! – 9! ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 90a B) 81a C) 7a D) a

10! – 9! = 10 . 9! – 9! = 9! ( 10 – 1) = 9! . 9
= 9 . 8! . 9
= 81 . 8! = 81 a Cevap: B


28) 1997 EML: Ahmet’in değişik 5 tane gömleği ve 3 tane de kravatı vardır. Ahmet giyinmek için, bir gömlek ile bir kravatı kaç değişik biçimde seçebilir?
A) 8 B) 12 C) 15 D) 16

5 . 3 = 15 şekilde Cevap: C

29) 1991 EML: 3 erkek ve 4 kız öğrenci, bir tiyatroda yan yana 7 koltuğa erkekler bir arada, kızlar bir arada olmak üzere kaç değişik şekilde yerleştirilir?
A) 196 B) 208 C) 288 D) 302

3 erkeğe 1 erkek, 4 kıza 1 kız dersek, 2! şeklinde otururlar. 3 erkek kendi aralarında 3! şeklinde, 4 kız da kendi aralarında 4! şeklinde oturur.
= 2! . 3! . 4!
= 2 . 6 . 24
= 288 Cevap: C


1 1
30) 1997 DPY: —— P (5,4) - —— P (3,2) işleminin sonucu nedir?
5 3

A) 14 B) 22 C) 28 D) 36

1 5! 1 3!
—— ( ——— ) - —— ( ——— )
5 (5-4)! 3 (3-2)!

1 5! 1 3! 1 5 . 4! 1 3 . 2!
= —— . —— - —— . —— —— . —— - —— . —— = 4! – 2! = 24 – 2
5 1! 3 1! 5 1 3 1
= 22
Cevap: B
2)OLAY VE OLASILIK
Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla uğraşır. Örneğin; bir zar atıldığında, zarın yere düşeceği kesin fakat üst yüze hangi sayının geleceği kesin değildir. Bir madeni pare atıldığında üst yüze yazının gelmesi, olasılık hesabında bir olaydır. Yapılan bir deneyde, elde edilebilecek tüm çıkanların kümesine örnek uzay denir ve E harfi ile gösterilir. Örnek uzayın her alt kümesine de olay denir.
• İmkansız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaya denir. Özel olarak boş kümeye imkansız olay denir.
• Kesin olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaya denir.
• Ayrık olaylar: Aynı zamanda gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylardır.
Örnek 1:
Deney: bir zarın havaya atılması
Çıkanlar: {1,2,3,4,5,6}
Örnek uzay: E={1,2,3,4,5,6}
A olayı: Zarın üst yüzüne 2 gelmesi
B olayı: Zarın üst yüzüne 4 gelmesi
İmkansız olay: Zarın üst yüzüne 8 gelmesi
Kesin olay: Zarın üst yüzüne 7’den küçük bir sayma sayısının gelmesi
Ayrık olaylar: A ve B olayları

2.1)Bir Olayın Olasılığı
Örnek uzayı “E”, bir olayı “A” ve A olayının olasılığını da P(A) ile gösterirsek;

s(A) İstenilen durumların sayısı
P(A)= ——— = ————————————
s(E) Tüm durumların sayısı
• Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasında bir sayıdır.
0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(A) =0 ise A olayının gerçekleşmesi mümkün değildir.
• P(A) =1 ise A olayı kesinlikle gerçekleşecek demektir.
• P(A), A olayının olma olasılığı; P(A’), A olayının olmama olasılığı olmak üzere, P(A) + P(A’) =1, yani bir olay ya olur veya olmaz demektir. Bu ifade P(A) =1 – P(A’) olarak da düşünülebilir.

Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı
A∩B = ø ise A ve B olayları ayrıktır. A ve B ayrık olaylar ise;
P(AUB) = P(A) + P(B)’dir.

Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı
P(A veya B) = P(AUB) ifadesi a veya B den en az birinin gerçekleşmesi olasılığı demektir. A∩B ≠ ø ise, A ve B ayrık olmayan iki olaydır. A ve B ayrık olmayan iki olay ise;
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) dir.
Aynı zamanda gerçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı
E örnek uzayında A ve B birer olay olsun. B olayının gerçekleşmesi A olayının gerçekleşmesini etkilemiyorsa A ve B olayları bağımsız olaylardır. Örneğin A olayı bir zarın tek sayı gelmesi ve B olayı paranın tura gelmesi olduğunda bir para ile bir zar atılırsa A ve B bağımsız olay olurlar.
P(A ve B) = P(A∩B) ifadesi hem A hem de B’nin gerçekleşme olasılığı demektir.
P(A∩B) = P(A) . P(B)

Örnek 1: Bir kalem kutusunda 5’inin ucu açık 15 kalem vardır. Gelişigüzel çekilen bir kalemin ucu açık olması ihtimali nedir?

Tüm kalemlerin sayısı: s(E) =15
Ucu açık kalemlerin sayısı: s(A) =5

s(A) 5 1
P(A) = —— = —— = ——
s(E) 15 3

Örnek 2: Bir torbada 5 kırmızı, 4 siyah, 3 mavi top vardır. Torbadan bir top çekersek, siyah olma olasılığı nedir?

s(E) = 5 + 4 + 3 = 12
s(A) = 4 (siyah top sayısı)

s(A) 4 1
P(A) = —— = —— = ——
s(E) 12 3


Örnek 3: 2 madeni para aynı anda masaya atılırsa, üste gelen yüzlerinin;
a)ikisinin de tura
b)en az birinin tura gelme olasılığı nedir?

E={YY, TT, YT, TY}
a) Olay= A= {TT}
s(A) 1
P(A)= ——— = ——
s(E) 4


b) Olay=B= {YT, TY, TT}

s(B) 3
P(B)= —— = ——
s(E) 4

Örnek 4: 2 zar aynı anda masaya atıldığında, üste gelen yüzlerinin çift numaralı olma

olasılığı nedir?


s(E) = 6 . 6 = 36
Her iki yüzünün de çift numaralı gelme durumları;
A= { (2,2), (2,4), (2,6), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6) }
s(A) 9 1
P(A) = —— = —— = ——
s(E) 36 4

Örnek 5: Bir zar atıldığında, zarın üst yüzüne gelen sayının 4 veya 3 olma olasılığı kaçtır?


Bu olaylar ayrık olaylar olduğu için


P(AUB) = P(A) + P(B)

1 1 2 1
= —— + —— = —— = ——
6 6 6 3

Örnek 6: Bir zar atılıyor. Zarın üst yüze gelen tarafının tek sayı veya 2’den büyük olma

olasılığı kaçtır?


A = {1,3,5} s(A) =3

B = {3,4,5,6} s(B) =4

A∩B = {3,5} s(A∩B) =2

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

3 4 2
= —— + —— - ——
6 6 6
5
= ——
6

Örnek 7: Bir torbada 4 beyaz, 5 kırmızı ve 3 mavi bilye vardır. Torbaya geri atılmamak şartıyla arka arkaya çekilen 2 bilyenin de beyaz gelme ihtimali kaçtır?
4
1. bilyenin beyaz gelme ihtimali ——
12
3
2. bilyenin beyaz gelme ihtimali ——
11

arka arkaya çekilen iki bilyenin de beyaz gelme ihtimali;

P(A∩B) = P(A) . P(B)

4 3 1
= —— . —— = ——
12 11 11




ÇIKMIŞ SORULAR
1)1997- FL/AÖL: Bir torbada 6 kırmızı, 4 mavi, 5 yeşil top vardır. Torbadan rasgele çekilen bir topun yeşil olmaması olasılığı kaçtır?
A) 1 B) 1 C) 2 D) 3
— — — —
3 2 3 4

s(A)
P(A) = —— P(A) + P(A’) = 1
s(E)
5 1
P(Y) = —— = ——
15 3
P(Y) + P(Y’) = 1 olduğundan

1 2
—— + P(Y’) = 1 P(Y’) = ——
3 3 Cevap: C

2)1997-ATML: Bir zar ile madeni bir para birlikte atılıyor. Paranın tura, zarın 4’ten küçük gelme olasılığı nedir?
A) 1 B) 1 C) 1 D) 1
— — — —
2 3 4 6

1
Paranın tura gelme olasılığı = P(T) = ——
2
3
Zarın 4’ten küçük gelme olasılığı = P(Z) = ——
6

P(T∩Z) = P(T) . P(Z)
1 3 1
= —— . —— = ——
2 6 4 Cevap: C


3)1997-DPY: Bir torbada 6 mavi, 5 sarı top vardır. Çekilen top geri atılmamak şartıyla, torbadan rasgele arka arkaya 2 top çekiliyor. Çekilen 2 topun da mavi olma olasılığı nedir?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3
— — — —
11 11 11 11


6 5 3
— . — = —
11 10 11 Cevap: D



4)1988-DPY: Bir torbaya 5 tane 5 lira, 10 tane 10 lira, 25 tane 25 lira ve 50 tane de 50 lira konuluyor. Bu torbadan rastgele çekilen bir paranın 10 lira olmama olasılığı nedir?

A) 1 B) 5 C) 1 D) 8
— — — —
18 18 9 9


s(A) 10 1
P(A) = —— = —— = ——
s(E) 90 9


P(A) + P(A’) = 1

1 8
— + P(A’) = 1 P(A’) = —
9 9 Cevap: D


5)1999-DPY: Bir çift zar birlikte atıldığında, üste gelen rakamların toplamının bir doğal sayının küpü olması olasılığı nedir?
A) 5 B) 5 C) 1 D) 1
— — — —
18 36 18 36


s(E) = 6 . 6 = 36

A = { (2,6), (6,2) } s(A)=2

2 1
— = —
36 18 Cevap: C


6)1991-ÖĞL: Yüzeyleri 1’den 6’ya kadar numaralanmış küp şeklindeki bir çift zar masaya atıldığında, üst yüzeylerindeki sayıların toplamının 5 olmaması olasılığı kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 8
— — — —
9 9 9 9


A= toplamının 5 olması= { (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) }

s(A) = 4

s(E) = 6 . 6 = 36 P(A’) = 1 – P(A)
s(A) 4 1 1 8
P(A) = —— = —— = —— = 1 - — = —
s(E) 36 9 9 9

Cevap: D


7)1985 FL-1: Bir torbada 1’den 8’e kadar numaralanmış 8 bilye var. Torbadan rasgele bir bilye çekildiğinde, çekilen bilyenin çift numaralı veya 6’dan küçük numaralı çıkma olasılığı kaçtır?
A) 5 B) 3 C) 7 D) 9
— — — —
16 4 8 8


A= çift numaralı olması = {2,4,6,8} s(A) = 4

B= 6’dan küçük olması = { 1,2,3,4,5} s(B) = 5

A∩B = {2,4} s(A∩B) = 2

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
4 5 2 7
= —— + —— - —— = ——
8 8 8 8 Cevap: C


8)1988 FL: Bir torbaya 1’den 20’ye kadar numaralanmış 20 kart konuyor. Torbadan rasgele bir kart çekildiğinde, çekilen kartın çift numaralı veya asal sayılı bir kart çıkma olasılığı nedir?
A) 19 B) 9 C) 17 D) 7
— — — —
20 10 20 10


A= çift numaralı= { 2,4,6,8,10,12,14,16,16,18,20} s(A)=10

B= asal sayı= {2,3,5,7,11,13,17,19} s(B)=8

A∩B= {2} s(A∩B)=1

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

10 8 1 17
= —— + —— - —— = ——
20 20 20 20 Cevap: C





9)1990 EML: Bir kutuda 5’i bozuk olmak üzere, 12 ampul vardır. Kutudan arka arkaya çekilen 3 ampulün de sağlam olma olasılığı nedir?
A) 5 B) 5 C) 7 D) 7
— — — —
44 12 12 44


Sağlam ampul sayısı = 7

7 6 5 7
— . — . — = ——
12 11 10 44 Cevap: D







10)1998 FL-AL: Bir daktiloda alfabenin sadece 29 harfi ile ilgili tuşlar vardır. Tuşlara rastgele ve tek tek basıldığında ATA yazılması olasılığı kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 1 D) 9
— — — —
(29)³ 29 29 (29)³

1
P(A) = A harfinin yazılması olasılığı = ——
29
1
P(T) = T harfinin yazılması olasılığı = ——
29
1 1 1 1
—— . —— . —— = ——
29 29 29 (29)³ Cevap: A


11)1987 FL-2: Bir zar ve bir para atıldığında, zarın 3 ve paranın yazı gelme olasılığı

kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 1 D) 1
— — — —
3 12 36 72

1 1
P(A) = zarın 3 gelme olasılığı = —— P(B) = paranın yazı gelme olasılığı = ——
6 2

1 1 1
P(A∩B) = —— . —— = ——
6 2 12 Cevap: B


12) 1986 FL-2: Bir torbada 2 kırmızı, 3 siyah ve 4 beyaz top vardır. Madeni bir para havaya

atılarak, torbadan rasgele bir top çekiliyor. Paranın yazı ve topun siyah çıkma olasılığı nedir?

A) 1 B) 1 C) 1 D) 5
— — — —
6 4 3 6

1
P(A) = paranın yazı gelme olasılığı = —
2
3 1
P(B) = topun siyah çıkma olasılığı = — = —
9 3

1 1 1
P(A∩B) = —— . —— = ——
2 3 6 Cevap: A


13)1987 EML: İki para ve iki zar atılıyor. Paraların aynı ( yazı yazı veya tura tura) ve

zarların da aynı gelmesi olasılığı nedir?

A) 1 B) 1 C) 1 D) 1
— — — —
12 24 72 144

2
A= Paraların aynı gelmesi = {YY,TT} P(A) = —
4
6
B = Zarların aynı gelmesi = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5),(6,6) } P(B) = —
36
2 6 1 1 1
P(A∩B) = —— . —— = —— . —— = ——
4 36 2 6 12 Cevap: A



14)1994 FL: Bir yarışta Ahmet’in birinci gelme olasılığı 2/5, Murat’ın birinci gelme olasılığı 3/7’dir. Bu yarışta Ahmet’in veya Murat’ın birinci gelme olasılığı nedir?
A) 13 B) 29 C) 6 D) 15
— — — —
14 35 72 144


2 3 2 3 29
P(A) = —— P(M) = —— P(AUM) = —— + —— = ——
5 7 5 7 35

Cevap: B


15)1995 FL: Bir kutudaki 20 kalemden 11’i sağlam, geri kalanı da kırıktır. Kutuya geri atmamak şartıyla, arka arkaya çekilen iki kalemin de kırık olma olasılığı nedir?
A) 9 B) 7 C) 11 D) 18
— — — —
20 20 38 95


s(E) = 20 s(A) = kırık kalem sayısı = 9

9 8 9 2 18
— . — = — . — = ——
20 19 5 19 95 Cevap: D

16)1996 FL-AÖL: Bir torbada eşit sayıda beyaz ve siyah bilyeler vardır. Torbadan geri atılmamak şartıyla ard arda çekilen iki bilyenin de beyaz olma olasılığı 5/22’dir. Bilyeler çekilmeden önce torbada kaç bilye vardı?
A) 6 B) 10 C) 12 D) 18

s(B) = a
s(S) = a
a (a-1) 5 (a-1) 5
— . ——— = —— ——— = ——
2a (2a-1) 22 (2a-1) 22

20a – 10 = 22a – 22

12 = 2a

6 = a

Torbada beyaz + siyah 2a kadar bilye olduğuna göre 2 .6 = 12 bilye vardı.
Cevap: C


17)1997 EML: Bir zar ile madeni bir para birlikte atılıyor. Paranın tura, zarın 4’ten küçük gelme olasılığı nedir?
A) 1 B) 1 C) 1 D) 1
— — — —
2 3 4 6

1
P(T) = paranın tura gelme olasılığı = ——
2

3 1
P(Z) = zarın 4’ten küçük gelme olasılığı= —— = ——
6 2
1 1 1
P(T∩Z) = —— . —— = ——
2 2 4 Cevap: C


18)2000 FL-AÖL: Aşağıdaki torbalarda farklı sayıda beyaz ve kırmızı bilyeler vardır. Bu torbaların hangisinden rasgele kırmızı bir bilye çekme olasılığı en fazladır?
A) B)




C) D)






s(K) 36 3
A P(K) = —— = —— = ——
s(E) 60 5
s(K) 15 1
B P(K) = —— = —— = ——
s(E) 45 3
s(K) 25 5
C P(K) = —— = —— = ——
s(E) 40 8
s(K) 10 1
D P(K) = —— = —— = ——
s(E) 20 2


3 1 5 1
—— —— —— ——
5 3 8 2
(24) (40) (15) (60)

72 40 75 60
—— —— —— ——
120 120 120 120 Cevap: C



19)1999 DPY: Bir sınıftaki farklı isimde, 8 kız ve 16 erkek öğrencinin adları kartlara yazılarak bir torbaya konuluyor. Torbadan gelişigüzel bir kart çekildiğinde, kartın kız öğrenciye ait olmaması olasılığı nedir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
— — — —
3 3 4 5

8 1
P(K) = —— = ——
24 3

P(K’) = 1 – P(K)

1 2
= 1 - —— = ——
3 3 Cevap: B