-
Sayılar Dünyası
Sayılar Dünyası
Matematikle ilgilenen hemen herkesin duyduğu bir hikâye vardır. Hintli matematik dehası Ramanujan hastanede yatarken, ünlü İngiliz matematikçi Hardy onu ziyarete gelir. Hardy 1729 numaralı taksiyle geldiğini ve bu numaranın kendisine önemsiz gözüktüğünü ve uğursuz bir şey olmasından korktuğunu söyleyince Ramanujan hemen cevap verir: Hayır, bu çok ilginç bir sayıdır; bu iki küp toplamı olarak iki farklı şekilde yazılabilen sayıların en küçüğüdür. Gerçekten de 1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3 dir.
Sayılarla çalışan, onları kurcalayan, yerlerini değiştiren, onlarla oynamayı seven herkes doğal olarak birçok yararlı bilgiler depolar; tabi bu arada bazı yararsız şeyler de öğrenir. Herkes bilir ki tek basamaklı kare sayıların en büyüğü 9dur. Bu önemli mi? Hayır sadece tesadüf. İlk çift basamaklı sayı 10, 10’un karesi 100’de ilk üç basamaklı sayı. Evet bu da tesadüf ama ilk örneğe göre daha ilginç ve çekici. Sayılar içlerinde gizemli bir dünya barındırırlar ve bu dünya sizi yavaş yavaş içine çeker. Sizde pek çok işlem yaparak, evirerek, çevirerek sayılarla ilgili yeni modeller aramaya başlarsınız. Belki bulduğunuz şey çok çekici olmayacak, çekici bir şey bulduğunuzda bunun daha önceden bulunduğunu fark edeceksiniz ama yılmadan yine sayılarla uğraşmaya devam edeceksiniz. İşin güzelliği, gizemi ve çekiciliği burada…
En çok bilinen sayı çeşitlerinden biri kare sayılar;
0 1 4 9 16 25 36 49 64
Bu kareler arasındaki farkın artışına bir göz gezdirmeyi düşünürsünüz.
0 1 4 9 16 25 36 49 64
1 3 5 7 9 11 13 15
Böyle bakınca kare farkları, tek sayılar dizisinden başka bir şey değil. Bu da aslında normal bir şey zira (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1 oda tek sayılar formülünü verir.
Benim merakım burada depreşir ve küp sayıların nasıl arttığını merak ederim(ya da etmiştim) acaba onlar nasıl artıyor diye kendi kendime sorarım;
0 1 8 27 64 125 216 343
1 7 19 37 61 91 127
Bize pek bir ipucu vermiyor. Herhangi bir şeye de benzetemiyoruz bu diziyi. O zaman bu terimlerinde farklarını alalım;
1 7 19 37 61 91 127
6 12 18 24 30 36
Bu dizi bize bir şey ifade ediyor. Bu dizideki terimler arasındaki fark 6, biz bu 6’yı aklımızda tutup küpler dizimize geri dönelim.
0 1 8 27 64 125 216
0x6+1 1x6+1 3x6+1 6x6+1 10x6+1 15x6+1
Buradan 6’nın çarpıldığı sayıları bir çekelim. Acaba bu sayıların bir özelliği var mı?
0 1 3 6 10 15
Bu dizinin sayıları arasındaki farkta tam sayılar dizisini veriyor. Matematik dünyasında bu sayılara üçgen sayılar deniyor. Özellikleri şu mesela 3. üçgen sayı 6, onu nasıl bulacağız? 1’den 3’e kadar sayıları toplayacağız 1+2+3=6. Aynı şekilde 5. üçgen sayı 15=1+2+3+4+5. Üçgen sayılar böyle ortaya çıkıyor. Ayrıca bu sayılarla ilgili ilginç bir özellikte matematikçinin gözüne çarpabilir. İki komşu üçgen sayının toplamı muhakkak bir kare sayıyı verir. Biz küpler dizisinin farklarını alıyorduk birden kare sayılara ulaştık. İşte matematiğin güzelliği, ilginçliği, çekiciliği burada yatıyor.
Kareleri, küpleri inceledik birde 4. derecelere bakalım;
0 1 16 81 256 625
1 15 65 175 369
14 50 110 194
Bu kez de bu dizi bir şeye benzemedi. Küplerde yaptığımız gibi yine fazladan bir kez daha çıkarma yapalım;
14 50 110 194
36 60 84
Bu sefer bir şeye benzedi. Aradaki fark 24. Bu sefer zihnimizi bir soru kurcalar. Bu sabit farkları neye bağlarız veya belirli bir şekle, bir mantığa, bir kurala sokabilir miyiz?
Kare sayıların farklarının 2şer 2 şer artıyor.
Küp sayıların farklarının farkı 6şar 6şar artıyor.
Dördüncü kuvvete ki sayıların farklarının farkının farkı 24er 24er artıyor.
2!=2, 3!=6, 4!=24 evet bir şeyler yakaladık. Bu durumda Beşinci kuvvetten sayıların oluşturduğu dizileri de bu şekilde alt altta yazarsak 5. sıradaki dizinin sayılarının arasındaki fark 5!=120 olur, daha da genelleştirirsek, n. kuvvetten oluşan sayı dizisinin farklarını sürekli alırsak n. sıradaki dizinin terimleri arasındaki fark n! olur.
Biraz matematik O y u nu oynadık ve bir şey bulduk. Bilimsel olduğu tartışılır veya amacın ne olduğu da, gereksiz işlemler olarakta görülebilir. Sadece birazcık matematik ile gezdik, oynadık, eğlendik. Sıkıcı bulunabilir, bende bazen bunda bir amaç göremiyorum ama lisede bunu bulduğum hafta sonu nasıl hoşuma gittiğini dün gibi hatırlıyorum. Ben matematiği bu yüzden seviyorum. Eğlenmek, oynamak, kurcalamak, karıştırmak için…
Madem sayılarla ve onların ilginçlikleri ve çekicilikleri ile ilgili konuştuk. Matematik dünyasındaki bazı özel tanımlı sayılardan da bahsedelim. Yukarda üçgen sayıların tanımını vermiştik. O zaman devam edelim matematik dünyasındaki az bilinen bazı sayılar ve tanımlarını inceleyelim;
Friedman Sayıları: Bir sayıyı, kendini oluşturan rakamlardan cebirsel operasyonları(+, -, *, / ve kuvvet alma) kullanarak oluşturabiliyorsak bu sayılara Friedman Sayıları denir. Birkaç tane örnek gösterelim;
25 = 5^2
121 = 11^2
125 = 5^(1+2)
128 = 2^(8-1)
289 = (8+9)^2
625 = 5^(6-2)
Kaprekar Sayıları: n basamaklı bir t sayısının karesini alıp(t^2), oluşan sayının sağındaki n basamak ile solda kalan (n-1) yada n basamağı toplarsak yine sayının kendisini(t) veriyorsa, bu sayı bir Kaprekar sayısıdır. Örneğin;
99 => 99^2 = 9801 sağdaki n basmak ile soldaki n basamağı toplayalım;
98 + 01 = 99
2728 => 2728^2 = 7441984
1984 + 744 = 2728
533170 => 533170^2 = 284270248900
248900 + 284270 = 533170
Smith Sayıları: 1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunan tüm asal sayıların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür sayılara Smith sayısı denir.
121 = 11 * 11
1 + 2 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1
166 = 2 * 83
1 + 6 + 6 = 2 + 8 + 3
Birde bu sayıların ortaya çıkmasına neden olan sayıyı gösterelim. 1982 yılında matematikçi Albert Wilansky, kardeşi Smith’i ararken onun telefon numarasını bu ilginç özelliğini fark etti. Bundan dolayı da bu sayılara Smith sayıları adını verdi. Bu sayıyı da inceleyelim;
4937775 = 3 * 5 * 5 65837
4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 6 + 5 + 8 + 3 + 7
Harshad Sayıları: Eğer bir sayı rakamları toplamına tam olarak bölünebiliyorsa o sayıya Harshad sayısı adı verilir.
24 => 2 +4 = 6
24 / 6 = 3
192 => 1 + 9 + 2 = 12
192 / 12 = 16
Dost Sayılar: (m, n) sayı çifti için, n’in tam bölenleri toplamı s(n) = m, m’nin tam bölenleri toplamı s(m) = n ise bu iki sayıya dost sayılar denir.
(220, 284)
220 = 11 * 5 * 2^2
284 = 71 * 2^2
s(220) = 1+ 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
s(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
Arkadaş Sayılar: (n, m) sayı çifti için f(n) ve f(m), n ve m sayılarının kendileri ve 1(bir) dâhil tüm tam bölenleri olsun. Eğer f(n)/n = f(m)/m ise n ve m sayılarına arkadaş sayılar denir. (n, m) çifti (n, m, k) üçlüsü, (n, m, k, p, r) beşlisi gibi çoğaltılabilir.
6 => 1, 2, 3, 6 => 1 + 2 + 3 + 6 = 12
28 => 1, 2, 4, 7, 14, 28 => 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56
12 / 6 = 56 / 28 = 2 olduğundan (6, 2 sayı çifti arkadaş sayılardır.
(30, 140), (80, 200), (40, 224), (12, 234), (84, 270), (66, 308), sayı çiftleri, arkadaş sayı çiftlerine;
(2160, 5400, 13104), (9360, 21600, 23400), sayı üçlüleri, arkadaş sayı üçlülerine;
(6, 28, 496, 8128), (3612, 11610, 63984, 70434), sayı dörtlüleri, arkadaş sayı dörtlülerine;
(84, 270, 1488, 1638, 24384), (30, 140, 2480, 6200, 40640), beşlileri de arkadaş sayı beşlilerine örnektirler.
Mersenne Sayıları: Asal bir a sayısı için (2^a –1) biçiminde yazılan sayılara Mersenne sayıları denir.
2 => 2^2 – 1 = 3
5 => 2^5 – 1 = 31
Mükemmel Sayı: Bir sayının kendisi hariç tüm tam bölenleri(1 dâhil) toplamı sayının kendisine eşitse bu sayıya mükemmel sayı denir.
6 => 1, 2, 3
1 + 2 + 3 = 6
28 => 1, 2, 4, 7, 14
1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28
Birde mükemmel sayılarla ilgili şöyle bir çıkarım vardır;
((2^a)-1) bir asal sayı ise (2^(a–1))*((2^a)-1) mükemmel sayıdır.
(2^2)-1 = 3 asal olduğu için 2^(2–1) * ((2^2)-1) = 2 * 3 = 6 mükemmel sayıdır.
(2^3)-1= 7 asal olduğu için 2^(3–1) * ((2^3)-1) = 4 * 7 = 28 mükemmel sayıdır.
Cullen Sayıları: (2^n) * n + 1 formundaki sayılara verilen addır.
3 = 2^1 * 1 + 1
9 = 2^2 * 2 + 1
25 = 2^3 * 3 + 1
385 = 2^6 * 6 + 1
Woodall Sayıları: (2^n) * n – 1 formundaki sayılara verilen addır.
(2^1) * 1 – 1 = 1
(2^2) * 2 – 1 = 3
(2^5) * 5 – 1 = 159
Vampir Sayılar: Her n çift sayısı için, n basamaklı bir sayı, kendini oluşturan n rakamın, ayrı ayrı oluşturduğu n/2 basamaklı iki sayının çarpımına eşitse bu sayıya vampir sayı adı verilir.
1260 = 21 * 60
1435 = 35 * 41
2187 = 27 * 81
6880 = 80 * 86
125460 = 204 * 615 = 246 * 510
24959017348650 = 2947050 * 8469153
= 2949705 * 8461530
= 4125870 * 6049395
= 4129587 * 6043950
= 4230765 * 5899410
Zeisel Sayıları: Bir n sayısı, n = p1 * p2 * … * pi şeklinde(i>=3) asal çarpanlarına ayrılabiliyor ve tüm pi’ler, pi = a * p(i-1) + b şeklinde yazılabiliyorsa(po = 1 olmak üzere), bu sayılara Zeisel sayıları adı verilir. Örneğin; 1885 bir Zeisel sayıdır çünkü;
1885 = 1 * 5 * 13 * 29
5 = 2 * 1 + 3
13 = 2 * 5 +3
29 = 2 * 13 + 3
a = 2, b = 3 değerleri için 1885 Zeisel sayısıdır.
114985 = 1 * 5 * 13 * 29 * 61
5 = 2 * 1 + 3
13 = 2 * 5 +3
29 = 2 * 13 + 3
61 = 2 * 29 + 3
