1. Dereceden 1 Bilinmeyenli
1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitsizliklere denklem denir.
Denklemi sağlayan bilinmeyenin değerine o denklemin kökü ya da kökleri denir. Denklemin kökünü veya köklerini bulmak için yapılan işleme denklemi çözme; kök veya köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir.
Denklem; içindeki bilinmeyen sayısı ve bilinmeyenin üssüne göre adlandırılır.
O HALDE;
5x – 5 = 15, y + 2 = 6 açık önermeleri bir bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
2x + y = 9 açık önermesi iki bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x + y + z = 4 açık önermesi üç bilinmeyenli birinci dereceden bir denklemdir.
x² - 9 = 16 açık önermesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
İçinde bir tane bilinmeyeni bulunan ve üssü bir olan denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.
Genel olarak; a,b,c Є R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + b = c şeklinde gösterilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
DENKLEM ÇÖZÜMÜNDE BİLİNMESİ GEREKEN ÖZELLİKLER
1. Bir eşitliğin her iki yanına aynı reel sayı
eklenirse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin toplama kuralı denir.
2. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıyla çarpılırsa, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin çarpma kuralı denir.
3. Bir eşitliğin her iki yanı da sıfırdan farklı
aynı reel sayıya bölünürse, eşitlik bozulmaz. Bu özeliğe; eşitliğin bölme kuralı denir.
4. Bir denklemde herhangi bir terimi eşitliğin
bir tarafından diğer tarafına geçirerek işlem yapmak gerekiyorsa; geçirilen terimin işareti değiştirilir.
Pratik Çözüm Bir denklemi pratik çözmek için ;
Bilinmeyenler eşitliğin bir yanında, bilinenler eşitliğin diğer yanında toplanır. Eşitliğin bir yanından diğer yanına geçen terimin işareti değişir.
Her iki yanda toplama çıkarma işlemleri yapılır ve her iki yan bilinmeyenin katsayısına bölünerek bilinmeyen yalnız bırakılır. Denklem çözülmüş olur.
ÖRNEKLER
1. x + 6 = 10 denkleminin çözüm kümesini
bulalım:
Çözüm:
x + 6 = 10 denkleminde (+6) nın toplama
işlemine göre ters elemanı olan (-6), eşitliğin her iki yanına eklenirse eşitlik bozulmaz.
Buna göre; x + 6 = 10
x + 6 + (-6) = 10 + (-6)
x + 0 = 4
x = 4 olur.
Ç = {4} olur.
Verilen bir denklemin çözümünün doğru yapılıp yapılmadığının araştırılmasına, denklemin sağlaması denir.
Bulunan kök, denklemde yerine yazılarak denklemin sağlaması yapılır böylece bulunan kökün doğruluğu kontrol edilir.
4 sayısının x + 6 = 10 denklemini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:
x = 4 için x + 6 = 10
4 + 6 =10
10 = 10 olduğundan
çözüm doğrudur.
x + 6 = 10
x = 10 – 6
x = 4 ve Ç = {4} tür.
Demek ki; her iki şekilde yapılan çözüm, aynı elemanı veren çözüm kümesidir.
2. Verilen denklem parantezli olursa; aşağıda yapıldığı gibi, önce dağılma özeliği uygulanarak parantezler kaldırılır. Sonra da içerisinde bilinmeyeni olan terimler eşitliğin bir tarafına, öteki terimler de diğer tarafına geçirilir. Gerekli işlemler yapılarak denklem çözülür.
2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )
Önce, çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özeliklerini uygulayalım
Çözüm:
2.(x + 3) + 7 = 25 – 2.( x - 2 )
2x + 6 + 7 = 25 – 2x + 4
2x + 13 = -2x + 29
2x + 2x = 29 – 13
4x = 16
x = 16 : 4
x = 4 ve Ç = { 4 } olur.
3. Verilen denklem kesirli olursa, çözümü için önce paydalar eşitlenir. Denklem paydadan kurtarılır. Bunun için, eşitliğin iki yanını ortak payda ile çarpmak gerekir. Sonra da örnek çözümlerde belirtilen kurallara göre denklem çözülür.
3.(x–2) _ 2–x _ _ x _ 5 denkleminin çözüm
4 2 ¯ 5 2 kümesini bulalım:
Çözüm:
Paydaları eşitlersek:
3.( x- 2) – 2.( 2 – x ) – 4x _ x - 10
4 ¯ 4
3x – 6 – 4 + 2x – 4x =x – 10
3x + 2x – 4x – x = -10 + 6 + 4
5x - 5x = -10 + 10
0.x = 0
Bu eşitlik bütün reel sayılar için geçerli olduğundan verilen denklemin çözüm kümesi Ç=R dır.
4. 5 sayısının, 2x – 6 = 3 denkleminin kökü olup olmadığını araştıralım:
Çözüm:
x = 5 için 2x – 6 = 3
2 . 5 – 6 = 3
10 – 6 = 3
4 ≠ 3 olur
Buna göre 5 sayısı 2x – 6 = 3 denkleminin çözüm kümesi değildir. Verilen bir sayının, verilen bir denklemin kökü olup olmadığını anlamak için verilen denklemdeki bilinmeyen sayı yerine yazılır. İşlemler yapılır.eğer eşitlik sağlanıyorsa bu sayı denklemin çözüm kümesi, sağlanamıyorsa çözüm kümesi değildir denir.
5. –5 + 6 _ 7 denklemini çözelim
3 ¯ 1
Çözüm:
–5 + 6 _ 7 (Önce paydaları eşitleyelim.)
3 ¯ 1
( 3 )
-5 + 6 _ 21 ( Çarpma kuralı )
³˙ 3 ¯ 3 ˙³
-5x + 6 = 21 (Toplama kuralı )
-5x + 6 + (-6) = 21 + (-6)
-5x = 15
-5x _ 15 (Bölme kuralı )
5 ¯ 5
x = -3 tür. Ç = {-3}
6. 2.(5x - 6) + 2 = 30 denkleminin çözüm kümesini R de bulalım
Çözüm:
Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özeliğini uygulayarak parantezi açalım.
2.(5x - 6) + 2 = 30 ise
(2 . 5x) – (2 . 6) + 2 = 30
10x – 12 + 2 = 30
10x – 10 = 30 olur.
Şimdi ( -10) un toplama işlemine göre ters elemanı olan (+10) u eşitliğin her iki tarafına ekleyelim.
10x – 10= 30 ise
10x – 10 + (+10) = 30 + (+10)
10x + 0 = 40
10x = 40 10x _ 40
10 ¯ 10
x = 4 ve Ç= {4} olur.
7. 2x – 5 = 7 denklemini R de çözelim:
Çözüm:
Eşitliğin her iki tarafına, (-5) sayısının toplama işlemine göre tersi olan (+5) sayısını ekleyelim.
2x – 5 + 5 = 7 + 5
0
2x . 0 = +12
+2. x = 12 eşitliğinin her iki tarafını (+2) nin çarpma işlemine göre tersi olan 1 ile çarpalım:
2
1 6
2 . . 1 _ 12 . 1
2 ¯ 2
1 1
x = 6 bulunur.
Ç = 6 şeklinde çözüm kümesi yazılır.
8. 5x + 2 = 27 denklemini R de çözelim.
Çözüm:
Eşitliğin her iki yanına (+2) nin toplama işlemine göre tersi olan (-2) sayısını ekleyelim.
5x + 2 + (-2) = 27 + (-2)
0 25
5 . x = 25
Eşitliğin her iki yanını (+5) sayısının çarpma işlemine
göre tersi olan 1 sayısı ile çarpalım.
2
1 5
5 . x . 1 _ 25 . 1
2 ¯ 2
1 1
x = 5 bulunur.
Çözüm kümesi Ç = {5} olur.
Bu son örneği kısa yolla, aşağıdaki gibi yaparız:
5x + 2 = 27
toplanan
5x = 27 – 2
çıkan
( Eşitliğin bir tarafındaki toplanan terim, eşitliğin diğer tarafına çıkan olarak geçer. )
5 . x = 27
çarpan
x = 25 : 5
bölen
( Eşitliğin bir tarafındaki çarpan terim, eşitliğin diğer tarafına bölen olarak geçer.)
x = 5 bulunur.
Ç = {5} olur.
