ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

ARİTMETİK ve GEOMETRİK DİZİLER, SERİLER

1. Aritmetik Dizi
A. TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir. Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 � an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir.
ÖRNEK

(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz. Ortak farkını bulunuz.

an+1 � an = (n+1+10)/5 � (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir.
B. GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir.
5
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
................................
an = an � 1 + d = a1 + (n � 1)d dir.
Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n � 1)d dir.
ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?
a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n � 1) d
an = 8 + (n � 1) 2
an = 2n + 6�dır.
C. ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap � ak dir.
p - k
ÖRNEK

39. terimi 19 ve 45. terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?
a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 � a39)/(45 � 39)
d = (22 � 19)/6
d = ½� dir.

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :
d = b � a dır.
n + 1
ÖRNEK
- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b � a)/(n+1) = [28 � (-8)]/(8+1) = 36/9 = 4
Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,
Sn = n [2a1 + (n � 1)d] ya da
2
Sn = n (a1 + an) olur.
2
Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k<p iken,
ap = ap � k +ap + k dır.
2
ÖRNEK

19. terimi 42 ve 33. terimi 88 olan aritmetik dizinin 26. terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,
a26 = (a19+a33)/2
a26 = (42+88)/2
a26 = 65�tir.
GEOMETRİK DİZİ

A. TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir. Diğer bir ifadeyle
" n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak
an
çarpan veya ortak oran denir.
ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz. Dizinin ortak çarpanını bulunuz.

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir.
B. GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun. Bu durumda,
a1 = a1
a2 = r.a1
a3 = r.a2 = r2.a1
a4 = r.a3 = r3.a1
Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn � 1.a1 veya an = rn � p.ap dir.
ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn � 1 . a1
an = (1/2)n � 1 . 4
an = 23 - n
C. GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp � k = ap eşitliğinde bulunur.
ak
ÖRNEK

2. terimi 3/5 ve 5. terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?


a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 � 2 = a5/a2
r3 = 75/3/5
r3 = 125
r = 5 tir.


Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1.1 � rn olur.
1 � r
ÖRNEK

İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3. terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 . (1 � r3)/(1 � r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir. Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır.
ÖRNEK

3. terimi 3 ve 5. terimi 6 olan geometrik dizinin 7. terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3 . a7)1/2 6 = (3 . a7)1/2 36 = 3 . a7 a7 = 12�dir.
SONUÇ:
Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir. Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir.
ÖRNEK:
Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n. terimi y�dir. Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y�ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn � 1 y = x.6n � 1 6n = 6y/x ... (*)
Sn = a1.(1 � rn)/(1 � r) = x . (1 � 6n)/(1 � 6) = x . (1 � 6y/x)/(-5) = (6y � x)/5 dir.
SERİLER

A. TANIM

· (an) reel terimli bir dizi olsun.
= a1+a2+a3+ ...+an + ... sonsuz toplamına seri denir.
· an�e serinin genel terimi denir.
· Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ ...+an toplamına serinin n. kısmi toplamı denir.
· (Sn) = (S1,...,S2,...,S3,...,Sn,...) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir.
· a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn� dir.
b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır.
· serisi yakınsak ise lim an = 0�dır. Bu ifadenin tersi doğru değildir.Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir.
· lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır.
ÖRNEK

2n/5-n serisi veriliyor. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.

an = 2n/5-n = 2n.5n = 10n dir. lim an = lim 10n = ¥ dur. lim an ¹ 0 olduğuna göre seri ıraksaktır.






B. ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

1. Aritmetik Seriler
(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir. Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)�dir. Aritmetik seri ıraksaktır.
2
ÖRNEK

(n � 10)/20 serisi veriliyor. Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz. Serinin kısmi toplamını bulunuz. Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
" n Î N+ için d = an +1 � an =(n+1-10)/20 � (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir.
a1 = -9/20 ve an = (n � 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n �10)/20]
=n(n � 19)/40 = ¥
olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır. (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır.

2. Geometrik Seriler
(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir. Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a1.1-rn�dir.
1-r
a) |r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1�dir.
1-r
b) |r| ³ 1ise seri ıraksaktır.


ÖRNEK


31-n serisi veriliyor.
Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz.

" n Î N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir.

a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,
Sn = 1 . [1 � (1/3)n]/(1 � 1/3) = 3/2[1 � (1/3)n] dir.

r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir. Bunu için seri yakınsaktır.

Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 � n = a1/(1 � r) = 1/(1 � 1/3) = 3/2 dir