Permütasyon,Kombinasyon ve Binom Açılımı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON VE
BİNOM AÇILIMI

SAYMANIN TEMEL KURALLARI
Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun.
s(A)= m , s(B)= n ve A ile B�nin kesişimi boş küme ise birleşimin eleman sayısı
s(A) + s(B)= m+ n� dir.
O halde ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
Örnek:5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( ya bir bay veya bir bayan seçilecek )
Çözüm :5 bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 yolla seçilebilir. Buna göre 5 bay ile 3 bayan arasından 1 bay veya 1 bayan 5 + 3 = 8 yolla seçilebilir.
Çarpma Kuralı :n bir sayma sayısı olmak üzere a1, a2, a3, ....., an ile gösterilen n tane nesne için ( a1 , a2 )� ye sıralı ikili, ( a1 , a2 , a3 )�e sıralı üçlü ... ( a1 , a2 , a3 , ... , an )�e sıralı n�li denir. Sıralı ikililerin kümesini A2 , Sıralı üçlülerin kümesini A3 , Sıralı dörtlülerin kümesini A4 .... şeklinde gösterelim.
A1 , A2 , A3 , ... , Ar kümelerinin elemanlarının sayısı n1 , n2 , n3 , ... , nr olsun. Bu durumda s ( A1.A2.A3... Ar )= s(A1 ). s(A2 ). s(A3 )... s(Ar ) = n1.n2.n3 ... nr olur.
Yukarıdaki genel kuralı iki işlem için açıklıyalım : iki işlemden biri m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.
Örnek: 5 bay ve 3 bayan arasından1 bay ve 1 bayan kaç yolla seçilebilir?( hem bir bay hem de bir bayan seçilecek )
Çözüm : 5 Bay arasından 1 bay 5 değişik şekilde yani 5 yolla, 3 bayan arasından 1 bayan 3 değişik şekilde yani 3 yolla seçilebilir. Yukarıda açıkladığımız kurala göre 5 bay ve 3 bayan arasından 1 bay ve 1 bayan 5.3 =15 yolla seçilebilir.
FAKTÖRİYEL
Tanım:1�den n�e kadar olan tamsayıların çarpımına �n faktöriyle� denir ve n! Şeklinde gösterilir.
1.2.3.....n = n!
0!=1
1!=1
2!=1.2 = 2
3!=1.2.3.= 6
4!=1.2.3.4 = 24
Uyarı : n! = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
Yani 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.3.2!
9! = 9.8! = 9.8.7! = 9.8.7.6! = 9.8.7.5.5! gibi.
Örnek: 15! / 13! =?
Çözüm :15 ve 13 arasında 15 sayısı 13 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. 15! = 15.14. 13! olur.
15! / 13! = 15.14. 13! / 13! = 15.14 bulunur.
Örnek: n! / (n - 2 )! =?
Çözüm :n ve n - 2 arasında n sayısı n-2 den büyüktür. Daima büyük olanı küçüğüne benzetiriz. n! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! olur.
n! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ). (n - 2 )! / (n - 2 )! = n.(n - 1 ) bulunur.
Kural : n tane eşyayı n tane yere n! kadar farklı şekilde dizeriz.
Örnek: 6 tane ampul 6 tane yere kaç farklı şekilde takılabilir?
Çözüm : Açıklayıcı olması için ampüllere A , B , C ve D , yerlere 1 , 2 , 3 ve 4 diyelim. A ' dan başlayarak ampülleri takalım. A ampülü 4 yerden birine takılabilir. Yani A ampülünün takılması için 4 yol var. A ampülünü taktıktan sonra 3 ampül ve üç yer kalır. B ampülü 3 yerden birine takılabilir. Yani B ampülünün takılması için 3 yol var. A ve B ampülünü taktıktan sonra 2 ampül ve 2 yer kalır. C ampülü 2 yerden birine takılabilir. Yani C ampülünün takılması için 2 yol var. A , B ve C ampülünü taktıktan sonra 1 ampül ve 1 yer kalır. D ampülü 1 yere takılabilir. Yani D ampülünün takılması için 1 yol var. Çarpım kuralına göre bu 4 ampül yolların çarpımı kadar farklı şekilde takılabilir.
Yani 4.3.2.1 = 4! = 24 değişik takma şekli vardır.
Aşağıdaki sadeleştirmeleri yapınız.
1. (n-2)!(n+1)! / n!. (n - 1)!
2. n! . (n-1)! / (n - 2 )! .(n+ 1)!
3. (n+ 2)! (n+1)! (n-2)! /n! (n-3)! (n+2)!
Örnek: Farklı, 5 matematik ve 3 fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.

1. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l0 level1 lfo3; tab-stops: list .5in">Kaç farklı şekilde dizilebilir? <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l0 level1 lfo3; tab-stops: list .5in">Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l0 level1 lfo3; tab-stops: list .5in">Fizik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l0 level1 lfo3; tab-stops: list .5in">Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?
2. Kenarlara fizik kitabı gelmek şartı ile bu 8 kitap kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm :
a. Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi düşünelim 1. sıraya dizilecek kitap 8 farklı kitap koyabiliriz yani 8 yolla, 1.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 2.sıraya dizilecek kitap diğer 7 kitap arasından biri olacağı için 7 yolla, 1.sıraya 1 kitap ve 2.sıraya 1 kitap dizildikten sonra 3. sıraya dizilecek kitap diğer 6 kitap arasından biri olacağı için 6 yolla,... bu şekilde her seferinde 1 kitap azalır. 8.sıraya dizilecek kitap 1 tane kaldığından 1 yolla belirlenir.Buna göre, bu 8 kitabın bir rafa yanyana dizilişi 8.7.6. 5. 4. 3. 2. .1= 8! yolla belirlenebilir.

1. Matematik kitapları 1 kitap, Fizik kitapları da 1 kitap gibi düşünülürse, bunların yanyana dizilişi 2! yolla olur. (matematik kitapları sağda fizik kitapları solda veya matematik kitapları solda fizik kitapları sağda ). 5 Matematik kitabının kendi arasındaki dizilişi 5! yolla olur. 3 fizik kitabının kendi arasındaki dizilişi 3! yolla olur.Buna göre matematik kitapları ve fizik kitapları, aynı dersin kitapları yanyana gelmek şartıyla 2!.3!.5! yolla dizilebilir.

1. Fizik kitapları yanyana gelince 1 kitap gibi olur. Fizik kitaplarını 1 kitap gibi düşünelim. Bu durumda 6 kitap varmış gibi düşünülebilir. Bu 6 kitabın 6! farklı dizilişi vardır. Fizik kitapları kendi arasındaki dizilişi 3! yolla , 5 matematik ve 3 fizik kitabı, fizik kitapları yanyana gelmek şartıyla 6!.3! yolla dizilebilir.

1. 8 kitabın belli ikisi A ve B olsun. A ve B�yi bir kitap gibi düşünelim. Bu durumda 7 kitap olduğu düşünülebilir. Bunların yanyana dizilişi 7! yolla yapılabilir. A ve B kitaplarının kendi aralarındaki dizilişi 2! olduğu için, 8 kitap; belli ikisi yan yana gelmek şartıyla 7!.2! yolla dizilebilir.

e. 1. Sıraya ve 8. Sıraya fizik kitabı 2.,3., ....., 7. sıralara diğer 6 kitap dizilirse uygun diziliş gerçekleşir. Buna göre, 1. sıraya gelecek fizik kitabı 3 fizik kitabı arasında 3 yolla, (1.sıraya gelecek fizik kitabı belirlendikten sonra) 8. sıraya gelecek fizik kitabı diğer iki fizik kitabı arasından 2 yolla belirlenebilir. Diğer 6 kitabın dizilişi 6! Yolla belirlenebilir. O halde 8 kitap kenarlara fizik kitabı gelmek şartıyla, 3.2.6! =3!.6! yolla dizilebilir.
PERMÜTASYON :
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r� lilerine A kümesinin r� li permütasyonları denir.
n elemanlı A kümesinin r� li permütasyonlarının sayısı P (n,r) = n! /(n-r)! formülü ile bulunur.
Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3� ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?
Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur. Eleman sayısı 7 ' dir. n = 7 , üç mendil dağıtılacak. r = 3 olur. Bu mendiller ;
P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7.6.5.4! / 4! = 7.6.5 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir.
Uyarı :
i. i. n elemanlı bir kümenin n�li permütasyonlarının sayısı,
Yani P(n,n) = n.(n-1)......1 = n!� dir.
ii. n elemanlı bir kümenin 1� li permütasyonlarının sayısı, P (n,1) = n�dir.
iii. Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak, çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz.
Örnek:5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır.

1. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l11 level1 lfo17; tab-stops: list .5in">Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir? <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l11 level1 lfo17; tab-stops: list .5in">Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?
2. Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm :

1. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l4 level1 lfo20; tab-stops: list .5in">8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l4 level1 lfo20; tab-stops: list .5in">Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur. 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır. Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6!. 3! farklı şekilde sıralanabilir.
2. Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3�ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6!. 3! Olduğu için bayanların 3�ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6!. 3! = 8.7.6! - 6!. 3.2.1 = 6! (56-6) = 50.6! olur.

Dönel (dairesel) sıralama :
Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir. Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir. Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur. Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur.
Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır.

1. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l1 level1 lfo23; tab-stops: list .5in">Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l1 level1 lfo23; tab-stops: list .5in">Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?
2. Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?

Çözüm :

1. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l3 level1 lfo26; tab-stops: list .5in">7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l3 level1 lfo26; tab-stops: list .5in">Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir.
2. Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur. 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir. Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir. Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5!. 2! farklı şekilde oturabilir.

Tekrarlı permütasyonlar :
Tanım : n tane nesnenin n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ......., nr tanesi de r. çeşitten olsun.
n= n1+ n2+ ........... + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n�li permütasyonlarının sayısı,
(n1 ,n2 , ..., nr ) = n! / n1!.n2!...nr � dir.
Örnek: � BABACAN� sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n1 = 2
3 tane A harfi olduğu için n2 = 3,
1 tane C harfi olduğu için n3 = 1 ve bir tane N harfi olduğu için
n4 = 1 olsun. Buna göre farklı sözcüklerin sayısı,
(2,3,1,1) = 7! / 2!.3!.1!.1! = 7.6.5.4.3.2.1 / 2.1.3.2.1.1 = 420 � dir.
KOMBİNASYON
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r � li kombinasyonu denir.
n elemanlı kümenin r�li kombinasyonlarının sayısı, K(n,r), C(n,r), C nr ya da
( nr ) ile gösterilir. Burada C (n,r) veya ( nr ) gösterimleri kullanılacaktır.
n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r) =( nr ) = n! / r! . (n-r)! formülü ile bulunur.
UYARI :Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur.

1. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l5 level1 lfo29; tab-stops: list .5in">( nx ) = ( ny ) ise x = y veya x + y = n olur. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l5 level1 lfo29; tab-stops: list .5in">( n0 ) = 1 <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l5 level1 lfo29; tab-stops: list .5in">( n1 ) = n
2. ( nn ) = 1

Örnek: Ali ve Veli�nin de aralarında bulunduğu 6 kişi arasından, aralarında Ali�nin bulunduğu ve Veli�nin bulunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm : Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve diğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağlanır. Buna göre, Veli seçme dışıdır. Ali� yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarda bırakacağımız için seçmeye katılacak 6 - 2 = 4 kişi kalır. Bu 4 kişi arasından 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur.
C (4,3) = 4! / (4-3)!. 3! = 4.3.2.1 / 1.3.2.1 = 4� tür.

BİNOM AÇILIMI
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla
(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+........ .......+C (n,r)xn-ryr+.....+C (n,n)yn
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir.
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz.
1 ...............................(x+y)0
1 1 ...........................(x+y)1
1 2 1 ......................(x+y)2
1 3 3 1 ...................(x+y)3
1 4 6 4 1 ...............(x+y)4
Sonuçlar :

1. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l10 level1 lfo32; tab-stops: list .5in">Açılımda n+1 tane terim vardır. <LI class=MsoNormal style="mso-margin-top-alt: auto; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-list: l10 level1 lfo32; tab-stops: list .5in">Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n�dir. mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) xn-r yr� de terimi oluşturan xn-r çarpanı ile yr çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n� dir.
2. Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur. Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + ...... + C (n,n) = 2n

olur. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 n olduğunu hatırlayınız. Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur. x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur.
4. Açılım x�in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) . terim ,
C(n,r) xn-r yr �dir.

1. (x+y) 2n açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x�in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn �dir.